初等函数的定义与分类

初等函数的定义与分类 初等函数的定义数学定义

定义是数学中精确描述概念、术语含义的陈述。理解定义是学习数学的基础，每个数学概念都有其严格的定义。

初等函数的定义初等函数是由基本初等函数通过有限次四则运算和复合运算得到的函数。初等函数是由基本初等函数通过有限次四则运算和复合运算得到的函数。初等函数是由基本初等函数通过有限次四则运算和复合运算得到的函数。 分类代数函数：只包含代数运算（加、减、乘、除、开方）的函数超越函数：包含超越运算（指数、对数、三角函数）的函数代数函数例子多项式函数 f(x)=x3−2x+1f(x) = x^3 - 2x + 1f(x)=x3−2x+1有理函数 f(x)=x2+1x−1f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}f(x)=x−1x2+1​无理函数 f(x)=x2+1f(x) = \sqrt{x^2 + 1}f(x)=x2+1​超越函数例子指数函数 f(x)=exf(x) = e^xf(x)=ex对数函数 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln xf(x)=lnx三角函数 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin xf(x)=sinx复合函数 f(x)=esin⁡xf(x) = e^{\sin x}f(x)=esinx 练习题练习 1判断下列函数哪些是初等函数：y=x2y = x^2y=x2，y=sin⁡xy = \sin xy=sinx，y=ln⁡xy = \ln xy=lnx，y=Γ(x)y = \Gamma(x)y=Γ(x)。

答案与解析 (2 个标签)初等函数 分类y=x2y = x^2y=x2、y=sin⁡xy = \sin xy=sinx、y=ln⁡xy = \ln xy=lnx 是初等函数，y=Γ(x)y = \Gamma(x)y=Γ(x) 不是（伽马函数为特殊函数）。

练习 2下列函数中哪些属于代数函数：y=xy = \sqrt{x}y=x​，y=exy = e^xy=ex，y=x2+1x−1y = \frac{x^2+1}{x-1}y=x−1x2+1​，y=sin⁡xy = \sin xy=sinx。

答案与解析 (1 个标签)代数函数y=xy = \sqrt{x}y=x​、y=x(2+1)x−1y = \frac{x ^ (2 + 1)} {x - 1}y=x−1x(2+1)​ 是代数函数，y=exy = e^xy=ex、y=sin⁡xy = \sin xy=sinx 不是。

练习 3下列函数中哪些属于超越函数：y=x3y = x^3y=x3，y=ln⁡xy = \ln xy=lnx，y=sin⁡xy = \sin xy=sinx，y=xy = \sqrt{x}y=x​。

答案与解析 (1 个标签)超越函数y=ln⁡xy = \ln xy=lnx、y=sin⁡xy = \sin xy=sinx 是超越函数，y=x3y = x^3y=x3、y=xy = \sqrt{x}y=x​ 不是。

练习 4判断 y=esin⁡xy = e^{\sin x}y=esinx 属于哪类初等函数，并说明理由。

答案与解析 (2 个标签)超越函数 复合函数属于超越函数，因为包含指数和三角函数的复合。

练习 5判断 y=x2+1y = \sqrt{x^2 + 1}y=x2+1​ 属于哪类初等函数，并说明理由。

答案与解析 (1 个标签)代数函数属于代数函数，因为只涉及代数运算和开方。

练习 6下列函数中，哪些是超越函数？(A) y=x2y = x^2y=x2(B) y=sin⁡xy = \sin xy=sinx(C) y=ln⁡xy = \ln xy=lnx(D) y=xy = \sqrt{x}y=x​

答案与解析 (1 个标签)超越函数(B)、(C) 是超越函数，(A)、(D) 不是。

练习 7判断 y=x2+1x−1y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}y=x−1x2+1​ 是否为代数函数，并说明理由。

答案与解析 (1 个标签)代数函数是代数函数，因为它只涉及加、减、乘、除等代数运算。

练习 8判断 y=esin⁡xy = e^{\sin x}y=esinx 属于哪类初等函数，并说明理由。

答案与解析 (1 个标签)超越函数属于超越函数，因为包含指数和三角函数的复合。

总结本文出现的符号符号类型读音/说明在本文中的含义f(x)f(x)f(x)数学符号f of x函数记号，表示以 xxx 为自变量的函数Γ(x)\Gamma(x)Γ(x)数学符号Gamma of x伽马函数，特殊函数，不属于初等函数exe^xex数学符号e to the power x自然指数函数ln⁡x\ln xlnx数学符号natural log of x自然对数函数sin⁡x\sin xsinx数学符号sine of x正弦函数esin⁡xe^{\sin x}esinx数学符号e to the power sine x指数函数和三角函数的复合函数x\sqrt{x}x​数学符号square root of x平方根函数中英对照中文术语英文术语音标说明初等函数elementary function/ˌelɪˈmentəri ˈfʌŋkʃən/由基本初等函数通过有限次四则运算和复合运算得到的函数基本初等函数basic elementary function/ˈbeɪsɪk ˌelɪˈmentəri ˈfʌŋkʃən/幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等代数函数algebraic function/ældʒɪˈbreɪɪk ˈfʌŋkʃən/只包含代数运算（加、减、乘、除、开方）的函数超越函数transcendental function/trænsenˈdentəl ˈfʌŋkʃən/包含超越运算（指数、对数、三角函数）的函数四则运算four arithmetic operations/fɔː əˈrɪθmətɪk ˌɒpəˈreɪʃənz/加、减、乘、除四种基本运算复合运算composition operation/ˌkɒmpəˈzɪʃən ˌɒpəˈreɪʃən/函数的复合运算多项式函数polynomial function/ˌpɒlɪˈnəʊmiəl ˈfʌŋkʃən/形如 f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0f(x)=an​xn+an−1​xn−1+⋯+a1​x+a0​ 的函数有理函数rational function/ˈræʃənəl ˈfʌŋkʃən/两个多项式函数的商无理函数irrational function/ɪˈræʃənəl ˈfʌŋkʃən/包含根式的函数伽马函数gamma function/ˈɡæmə ˈfʌŋkʃən/特殊函数，不属于初等函数下一章节 幂函数 详细讲解幂函数的定义、性质、图像及典型习题。 课程路线图1高等数学之函数探秘

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